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Medwave 2001 Nov;1(11):e3160 doi: 10.5867/medwave.2001.11.3160
Caos y dinámica no lineal en la vibración de las cuerdas vocales
Chaos and nonlinear dynamics in the vibration of the vocal cords
Alberto Nieto
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Resumen

Este texto completo es la transcripción editada y revisada de una conferencia dictada en el Curso Internacional de Cirugía de la Voz y Cirugía Endoscópica Sinusal Avanzada, organizado en Santiago por el Hospital Clínico de la Fuerza Aérea de Chile desde el 2 al 4 de abril de 2001.
Presidente: Dr. Sergio Lillo D. Coordinador: Dr. Gonzalo González Z.


 

La primera presentación tuvo como objetivo introducirlos en las redes neuronales, un nuevo sistema de computación que se conoce como inteligencia artificial. Esto ya se está utilizando regularmente, por ejemplo, en los sistemas de regulación del aire acondicionado. Se encuentran en muchos sistemas que estamos acostumbrados a manejar, sin saber que funcionan así. Debemos empezar a incorporar estas tecnologías, porque este es el futuro. Dentro de poco no existirán los computadores tradicionales, sino sólo estos sistemas.

La teoría del caos y la dinámica no lineal es una nueva concepción de la ciencia que trata de estudiar los fenómenos naturales como tales, sin hacer simplificaciones. Crea teorías y modelos que intenten reproducir el fenómeno natural. Es decir, es una aproximación real al fenómeno natural. Está ganando terreno dentro de los campos científicos y también se ha comenzando a utilizar con relación al tema del movimiento vibratorio de las cuerdas vocales. Los computadores tradicionales han demostrado cierto fracaso en relación a los sistemas acústicos, porque se está asumiendo una linealización. En un principio, al hablar de sistemas acústicos, se hablaba de la teoría fuente-filtro y del modelo lineal de la producción de la voz, lo que es una simplificación de la realidad.

La teoría del caos es una teoría matemática que trata de estudiar los sistemas que tienden al desorden, o sea, no son predecibles y no se pueden estudiar como si una fórmula matemática fuera la expresión de su conducta, porque ese sistema no va a responder a una fórmula lineal matemática. La teoría del caos se distingue de la física clásica en cuanto al estudio de los fenómenos naturales, pues permite que los sistemas que son impredecibles a largo plazo se puedan entender. Estos sistemas tienden al desorden, por ejemplo, el desorden de un río que, en su flujo normal, llega en un momento hasta una cascada y se produce el estruendo terrible de una catarata. Del mismo modo, en la fonación normal hay un flujo laminar y cuando hay, por ejemplo, un pólipo, ese flujo desaparece. Este flujo laminar es incluso una presunción, ya que, si se desciende a un tamaño de observación suficientemente pequeño, no es tal. Esta teoría del caos es especialmente útil en sistemas dinámicos complejos y compuestos de múltiples elementos en movimiento, como es el sistema de las cuerdas vocales. Si contemplamos una cuerda vocal macroscópicamente, en su superficie de mucosa, no es lo mismo que si contemplamos las proteínas que están detrás de esas estructuras; luego, es un sistema muy complejo, en el que participan muchos elementos.

Se dice que estos sistemas dinámicos son deterministas, en el sentido de que siguen leyes similares a las de la física clásica newtoniana, pero son impredecibles, son caóticos. Son impredecibles porque pequeñas variaciones en las condiciones iniciales de funcionamiento del sistema llevan a resultados muy diferentes. No es que estos sistemas caóticos sean de hecho totalmente impredecibles. Son impredecibles con relación a la forma de estudio disponible actualmente, pero exhiben cierto orden interno, el que se puede evidenciar con un tipo de matemáticas distinto de la matemática tradicional. Son representaciones sencillas, aproximaciones intuitivas y visuales de un fenómeno natural que está ocurriendo, y pueden caracterizar el sistema mucho mejor que una serie de datos que no nos arrojan ninguna luz y cuya interpretación muchas veces no sabemos.

El mecanismo de la producción vocal, como ya se ha dicho, es un mecanismo complejo y el modelo establecido es un modelo lineal de la producción de la voz, basado en la teoría de fuente- filtro. Es una presunción que realmente no se puede mantener cuando se necesita una aproximación al análisis acústico de la voz patológica. Los parámetros que caracterizan la fuente, la frecuencia fundamental, la intensidad y el espectro; y los parámetros que caracterizan el tracto vocal, no responden a la realidad. Es un modelo que debe reducir las múltiples variables que participan en el fenómeno natural en estudio al mínimo número de variables que permitan una aproximación a éste fenómeno mediante una formulación matemática. Si la aproximación es mayor, no se hace esta presunción de linealidad, sobre todo para el caso de la voz patológica.

Las cuerdas vocales tienen una forma de vibración que responde a la competencia dinámica de varias fuerzas enfrentadas entre sí. Se habla de fuerzas musculares, de fuerzas o aspectos biomecánicos y de fuerzas aerodinámicas. Analizaremos algunas de ellas para visualizar el carácter no lineal de los fenómenos implicados en la vibración de las cuerdas vocales.
En primer lugar, la tensión y la elongación no están relacionadas en forma lineal. Cuando una cuerda vocal se elonga a incrementos iguales, la tensión que se genera no es lineal. Cuando la longitud aumenta dos veces, la tensión no aumenta dos veces, sino que cuatro veces o más. El incremento es exponencial, no lineal. Para estudiar la relación entre la tensión y la longitud de la cuerda vocal, hay un modelo establecido por Ingo Titze. Es una fórmula matemática que expresa la regulación de la frecuencia fundamental, el mecanismo fundamental en la expresión vocal. Esta fórmula expresa que la relación entre esfuerzo y deformación no es lineal. Si la tensión de la cubierta de la cuerda membranosa, al elongarse, no se incrementa más que el cuadrado de la longitud de la cuerda membranosa, no se produce un aumento de la frecuencia fundamental; es decir, la relación no es lineal. Si lo fuera, siempre iría aumentando. Por otra parte, respecto a la presión subglótica, cuanto más corta la cuerda vocal, más rápidamente se incrementa la presión.
Al observar un gráfico de las presiones, se aprecia que la pendiente es mucho mayor cuando la cuerda mide sólo 0,5 cm que cuando mide 1,2 cm.

El patrón de vibración de las cuerdas vocales es realmente complejo. Podemos descender hasta el patrón de vibración de cada uno de los puntos de su superficie, con cada una de sus características biomecánicas. Se debe considerar el sistema dinámico de las cuerdas vocales como un sistema no lineal, en cuanto a la interacción de los flujos y las fuerzas biomecánicas que están actuando. Por lo tanto, se necesita otro tipo de herramientas, como las de la dinámica no lineal, que permiten comprender los fenómenos naturales de una manera mucho más sencilla e intuitiva. Visualizar el movimiento de las cuerdas vocales patológicas es difícil y no se logra establecer un patrón de movimiento que diga cómo se están moviendo realmente. Esta aproximación visual sí puede hacerse con los sistemas de dinámica no lineal.

Hasta el último tercio del siglo XX, la matemática se ha basado en los cambios que introdujo el estructuralismo en la matemática tradicional, buscando volver a las estructuras y a los fundamentos, alejándose un poco de la interpretación de los fenómenos naturales. La teoría de los sistemas dinámicos, que es una derivación de la teoría del caos, trata de explicar estos sistemas naturales que tienen conducta caótica.

Sistemas dinámicos
Un sistema dinámico está compuesto por un espacio de fase o de estado cuyas coordenadas describen de alguna forma el estado de ese sistema. Tiene, además, una regla dinámica que determina la evolución temporal de ese sistema. Se pueden clasificar de diferentes maneras:

  • Sistemas deterministas o aleatorios
  • Sistemas lineales y no lineales
  • Sistemas discretos y continuos.

Sistema determinista y sistema aleatorio
Un sistema determinista es aquel en el cual, para cada estado inicial, existe un único estado final.

Sistema aleatorio es aquel en el cual, para cada estado inicial, puede haber varios estados finales, según una distribución de probabilidades, lo que corresponde a la realidad de la naturaleza.

Sistema lineal y sistema no lineal
El sistema lineal tiene una conducta sencilla, expresada por una fórmula matemática, en que hay una solución única para la ecuación matemática dada.

El sistema no lineal tiene una conducta compleja. Las salidas del sistema no son proporcionales a las entradas. Los sistemas no lineales son los que predominan en la naturaleza y exhiben a menudo comportamientos extraños o difíciles de entender. En ellos, la matemática tradicional, basada en la matemática del siglo XIX, ha fracasado en la interpretación de los fenómenos. El intento de aproximación lineal a la naturaleza tiene que ver con los intentos de volver más calculables los fenómenos naturales, pero, por esta presunción de linealidad, el fenómeno natural que se contempla, al intentar reproducir el modelo, se parece tanto al fenómeno real como una disección anatómica al ser vivo que ha sido disecado. Se está quitando la condición cualitativa del fenómeno y se hace una simplificación muy brusca. La aproximación lineal, ese “desatar”, viene a ser un método analítico, (“análisis” proviene del griego ana – lysis = desatar). Cuando se desatan los componentes de un fenómeno biológico para analizarlo, lo que se obtiene es una cosa más calculable, más sencilla para nuestro intelecto, pero que no responde a la realidad.

Hemos buscado la ayuda del computador, pero, como ya hemos dicho, éste tiene una forma de asociación que no es la ideal. Sin embargo, al tener el computador una potencia de cálculo muy superior a la nuestra, mediante interacciones sucesivas se puede ir aproximando la solución hasta que se encuentre. Puede ser también la solución aproximada de una ecuación no lineal, que no tiene solución según la matemática tradicional.

Sistema discreto y sistema continuo
El sistema discreto es aquel que contemplamos en determinados momentos del tiempo. Es la típica ecuación para crecimiento de la población de Malthus, quien contemplaba cada población en el momento en que entraba una nueva generación, es decir cada 20 años.

Sistema continuo es un sistema que está continuamente evolucionando en el tiempo y debemos observarlo a cada instante. Se debe expresar mediante ecuaciones diferenciales; que pueden ser lineales o no lineales. Las no lineales no tienen solución matemática y es necesario buscar la aproximación con el computador. Hay un ejemplo de aproximación al movimiento continuo de las cuerdas vocales, el que intenta aproximar con suficiente fiabilidad, discretizando el movimiento con la estroboscopia. Este es un artificio al que nos hemos acostumbrado, pero hay cosas que se escapan.

La primera observación de un sistema caótico se debe a un meteorólogo llamado Lawrence, quien en 1963 intentó hacer predicciones climáticas con ayuda de un sistema de ecuaciones. Trabajaba con un sistema de tres ecuaciones diferenciales no lineales. Como no podía resolverlo con la analítica matemática tradicional, buscó el concurso del computador para calcular los resultados con los distintos valores de las variables. Dejaba ejecutando el programa, ya que en aquellos años esto demoraba varios días, y luego imprimía los resultados. La impresión era sólo de 3 decimales y no de los 6 con que estaba trabajando el computador al calcular. Lawrence introdujo los valores con 3 decimales y observó que los resultados no concordaban. La apreciación climática hecha con 6 decimales no concordaba con la hecha con 3 decimales. Esta es una característica inherente a todo sistema caótico, lo que se llama la sensibilidad a las condiciones iniciales.

En resumen, un sistema caótico es aquel cuyo comportamiento es impredecible a largo plazo, aun cuando es un sistema dinámico determinista, lo que se debe a que es extremadamente sensible a pequeñas variaciones en sus condiciones iniciales.

Espacio de fases
Permite visualizar un estado de sistema, mediante la graficación de una serie de variables que caracterizan de alguna forma ese sistema dinámico. Permite exponer pautas de movimiento que son muy difíciles de evidenciar de otra forma. El estado del movimiento en el sistema queda determinado por un punto en el espacio de fases. Cuando es un sistema discreto, las distintas soluciones a la fórmula no lineal que se está empleando para la aproximación de ese fenómeno natural puede ser un flujo continuo de valores, un conjunto de puntos que constituyen un mapa de valores. Por ejemplo, si intentamos representar en un espacio de fase el movimiento de un péndulo, si es un péndulo en estado ideal, en el vacío, sin roce ni fricción, el péndulo oscila y está en movimiento perpetuo. Esto queda descrito por la velocidad y la posición del péndulo. Si es un péndulo real, sometido al roce, oscila, pero llega un momento en que se detiene en un punto. En la dinámica no lineal este punto se denomina un atractor, donde el sistema tiende a ser atraído a un estado de reposo o de equilibrio. En el otro caso, en que el sistema está atraído a funcionar siempre, el atractor, que también existe, se denomina de ciclo límite.

Análisis gráfico de los sistemas no lineales
Hasta el siglo XX, la mecánica que predominaba en el estudio de la naturaleza era la mecánica laplaciana y la geometría que intentaba explicar las formas naturales era la euclidiana. Sin embargo, en la naturaleza no existen triángulos perfectos. Hay formas que parecen triángulo, pero triángulos matemáticamente perfectos no existen. En 1975, Mandelbroth intentó crear la denominada “geometría de la naturaleza”, a la que denominó fractal. La geometría fractal se basa en expresar determinadas cualidades de las formas naturales con unas dimensiones diferentes a las euclidianas, es decir, diferentes a las dimensiones contempladas por la geometría tradicional. La dimensión fractal se puede comprender con el ejemplo del ovillo de bramante. Si contemplamos un ovillo a suficiente distancia, es realmente un punto unidimensional; si lo observamos más cerca, es una esfera con tres dimensiones, y si lo vemos lo suficientemente cerca para ver el hilo del bramante, sería una línea con dos dimensiones. Algo tiene que haber en las formas naturales que permita expresar la forma natural mediante una única dimensión, que es la dimensión fractal.

Se generó una geometría y una matemática capaces de resolver este tipo de problemas. Esta matemática es la topología, que está llena de metáforas visuales, las aproximaciones intuitivas de los fenómenos naturales.

Poincaré, en el siglo XIX, resolvió un problema que había sido resistente a todo estudio científico, cual era la trayectoria de los tres cuerpos celestes: la tierra, el sol y la luna. No lo solucionó de forma matemática, porque era insoluble con la matemática tradicional. Intuyó la solución mediante una serie de aproximaciones, de metáforas visuales, e intentó generar una simplificación de las trayectorias de los astros. Generó una serie de secciones, denominadas secciones de Poincaré. Estas simplifican la dinámica de ese sistema a un único plano. La sección transversal a la trayectoria de las órbitas de los planetas se puede simplificar porque cada órbita corta ese plano en un punto.

Las formas de los fractales de Mandelbroth se han utilizado en arte moderno. Se obtienen con la interacción de una determinada fórmula matemática. Un número complejo se eleva al cuadrado y el resultado se suma al número complejo y así sucesivamente. Luego, si se puede reducir una forma tan compleja a una fórmula matemática tan sencilla, esto puede ser una aproximación a fenómenos muy complejos, como puede ser la vibración de las cuerdas vocales.

Winholtz, olvidando los números complejos, intentó otro enfoque: deducir si esas formas naturales, tan complejas, obedecían todas a fórmulas matemáticas sencillas como la que había obtenido Mandelbroth. La trascendencia del descubrimiento de Winholtz es que consideró, en términos de dinámica no lineal, esa forma natural como un atractor, es decir, como un comportamiento de ese sistema que se veía atraído hacia esa forma.

Hemos visto ya tres tipos de atractores: el del péndulo con roce, el de ciclo límite o del péndulo ideal, y un torus. Estos eran los tres atractores típicos conocidos, hasta que apareció el atractor de Lawrence, el que se generó cuando éste intentó graficar la evolución de las soluciones que arrojaba el computador a sus ecuaciones de predicción climática. Lo graficó en un espacio de fases y apareció la figura, conocida como el atractor de Lorenz, que tiene forma de mariposa. De ahí viene el llamado efecto mariposa, el cual se refiere a que si una mariposa moviera sus alas en determinada región del mundo, podría provocar un huracán en otra región suficientemente apartada. Los efectos cataclísmicos podrían conseguirse con mínimas variaciones del estado de reposo de un sistema. Se llamó así a este efecto, porque el atractor de Lorenza tenía forma de mariposa.

Los atractores extraños se llamaron así porque no eran conocidos y son los atractores que describen el comportamiento impredecible de un sistema a largo plazo. De alguna forma nos permite expresar en forma geométrica las formas complejas naturales de la geometría fractal y esa representación geométrica nos permite analizar sistemas multidimensionales que tienen muchos elementos en movimiento y que, además, tienen un comportamiento no lineal.

Estructura interna de un atractor
Mediante el artificio de las secciones de Poincaré, también llamados mapas de restitución, se muestra el gráfico de un movimiento. Si lo contemplamos de una forma, no entendemos bien cómo se está produciendo, pero si hacemos una sección transversal que corta todas las trayectorias en un determinado punto, se simplifica y se puede entender mejor.

Para entender bien cómo se generan los atractores en la geometría fractal hay que recurrir a lo que se denomina operaciones topológicas, las que básicamente son dos: el estirado y el plegado.

La teoría del caos
Lo que hace el estiramiento del espacio de fase es lograr que puntos que inicialmente están próximos se vean separados en un futuro relativamente cercano; en cambio, el plegado, lo que hace es que los puntos se mezclan.

Todo esto es una aproximación cualitativa o visual, pero se puede visualizar cuantitativamente, que es nuestro objetivo. Lo que buscamos es un valor de jitter o de shimmer, que sea útil. La contemplación de los fenómenos caóticos se puede cuantificar con este tipo de mediciones, como los exponentes de Lyapunov, la entropía y las dimensiones.

Para concluir; las técnicas tradicionales de análisis acústico en voces patológicas evidenciaban una serie de hallazgos: frecuencias subarmónicas en el espectrograma de banda estrecha, bandas de duplicación en el periodo, fenómenos de modulación, tanto de la frecuencia fundamental como de la intensidad, y existencia de frecuencias independientes de la frecuencia fundamental, tanto en el espectrograma de banda estrecha como en los controles de frecuencia, y aparecían, evidentemente, ruidos en el espectrograma. Al utilizar estos métodos de dinámica no lineal, lo que aparece en las voces patológicas son atractores extraños en el espacio de fase, con un aumento de los exponentes de Lyapunov. Aparecen, además, diferentes dimensiones fractales en las voces normales y patológicas, solapamiento entre los distintos registros de los diagramas de bifurcación.

Se muestra el comportamiento del gráfico en el espacio de fases del movimiento de las cuerdas vocales de un paciente con una parálisis de la cuerda vocal. El oscilograma evidenciaba una modulación de la frecuencia. Al hacer una aproximación visual y una sección de Poincaré, podremos entender mucho mejor cómo funciona internamente el atractor.

Otro ejemplo es una preparación experimental de cuerdas vocales de cerdo, en las que se ha variado la tensión de las cuerdas aplicando presión con un tornillo. Haciendo pasar un flujo de aire a través de las cuerdas vocales se ha recogido un oscilograma que tiene una cierta periodicidad. En el espectro de amplitud hay unas bandas laterales, otra de las características que se emplean en el análisis acústico tradicional. No se podía evidenciar una regularidad, un orden, en el comportamiento de este sistema, pero cuando lo vemos en el espacio de fase tenemos esta estructura.

Esto es lo que nos deparará el futuro con relación a análisis acústico.

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Este texto completo es la transcripción editada y revisada de una conferencia dictada en el Curso Internacional de Cirugía de la Voz y Cirugía Endoscópica Sinusal Avanzada, organizado en Santiago por el Hospital Clínico de la Fuerza Aérea de Chile desde el 2 al 4 de abril de 2001.
Presidente: Dr. Sergio Lillo D. Coordinador: Dr. Gonzalo González Z.

Expositor: Alberto Nieto[1]

Filiación:
[1] Hospital Universitario Príncipe de Asturias, Universidad de Alcalá, Madrid, España

Citación: Nieto A. Chaos and nonlinear dynamics in the vibration of the vocal cords. Medwave 2001 Nov;1(11):e3160 doi: 10.5867/medwave.2001.11.3160

Fecha de publicación: 1/11/2001

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